Equação do modelo linear

A equação do modelo linear é dada por:

\[ \text{price} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{car_run_km} + \beta_2 \cdot \text{prod_year} + \beta_3 \cdot \text{engine_volume} + \beta_4 \cdot \text{cylinders} + \beta_5 \cdot \text{airbags} + \beta_6 \cdot \text{abs_break} + \beta_7 \cdot \text{esd} + \\ \beta_8 \cdot \text{el_windows} + \beta_9 \cdot \text{conditioner} + \beta_10 \cdot \text{leather} + \beta_11 \cdot \text{nav_system} \]

#> 
#> Call:
#> lm(formula = price ~ car_run_km + prod_year + engine_volume + 
#>     cylinders + airbags + abs_break + esd + el_windows + conditioner + 
#>     leather + nav_system, data = data_filter)
#> 
#> Residuals:
#>     Min      1Q  Median      3Q     Max 
#>  -44074   -5005   -1857    1831 8376743 
#> 
#> Coefficients:
#>                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)     -1.284e+06  6.463e+04 -19.862   <2e-16 ***
#> car_run_km      -2.199e-02  1.861e-03 -11.813   <2e-16 ***
#> prod_year        6.386e+02  3.210e+01  19.896   <2e-16 ***
#> engine_volume    2.484e+00  2.242e-01  11.079   <2e-16 ***
#> cylinders        1.681e+03  1.683e+02   9.984   <2e-16 ***
#> airbags         -4.221e+02  5.515e+01  -7.652    2e-14 ***
#> abs_breakTRUE    1.596e+03  8.257e+02   1.933   0.0532 .  
#> esdTRUE          8.556e+01  7.203e+02   0.119   0.9054    
#> el_windowsTRUE   1.479e+03  1.042e+03   1.420   0.1557    
#> conditionerTRUE -1.146e+03  9.856e+02  -1.163   0.2448    
#> leatherTRUE      1.116e+04  3.815e+04   0.293   0.7699    
#> nav_systemTRUE   1.321e+03  5.371e+02   2.459   0.0139 *  
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 38150 on 54100 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.03124,    Adjusted R-squared:  0.03104 
#> F-statistic: 158.6 on 11 and 54100 DF,  p-value: < 2.2e-16

Apenas algumas variáveis apresentaram significância no modelo. Assim, o próximo modelo será construído excluindo as variáveis com p-valor maior que 0,05

#> 
#> Call:
#> lm(formula = price ~ car_run_km + prod_year + engine_volume + 
#>     cylinders + airbags + abs_break + nav_system, data = data_filter)
#> 
#> Residuals:
#>     Min      1Q  Median      3Q     Max 
#>  -44011   -5008   -1852    1830 8376710 
#> 
#> Coefficients:
#>                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)    -1.275e+06  6.395e+04 -19.940  < 2e-16 ***
#> car_run_km     -2.198e-02  1.860e-03 -11.815  < 2e-16 ***
#> prod_year       6.344e+02  3.177e+01  19.970  < 2e-16 ***
#> engine_volume   2.478e+00  2.237e-01  11.076  < 2e-16 ***
#> cylinders       1.682e+03  1.682e+02  10.001  < 2e-16 ***
#> airbags        -4.231e+02  5.482e+01  -7.717 1.21e-14 ***
#> abs_breakTRUE   1.905e+03  5.250e+02   3.628 0.000286 ***
#> nav_systemTRUE  1.389e+03  4.894e+02   2.837 0.004551 ** 
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 38150 on 54104 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.0312, Adjusted R-squared:  0.03107 
#> F-statistic: 248.9 on 7 and 54104 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interpretação dos Coeficientes

\[ \text{price} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{car_run_km} + \beta_2 \cdot \text{prod_year} + \beta_3 \cdot \text{engine_volume} + \beta_4 \cdot \text{cylinders} + \beta_5 \cdot \text{airbags} + \beta_6 \cdot \text{abs_break} + \beta_7 \cdot \text{nav_system} \]

• \(\beta_0\) (intercept) nos indica que o valor esperado do veículo quando todas variáveis independentes são iguais a zero. Logo o beta_0 não tem interpretação prática pois o ano de produção não pode ser 0.

• car_run_km (Quilometragem): Para cada quilômetro adicional rodado, o preço do veículo diminuí em média -0.02 unidades monetárias, mantendo todas as outras variáveis constantes.

• prod_year (Ano de produção): Para cada ano adicional de produção, o preço do veículo aumenta em média 634.40 unidades monetárias, mantendo todas as outras variáveis constantes.

• engine_volume (volume do motor) : Para cada unidade adicional no volume do motor, o preço do veículo aumenta em média 2.47 unidades monetárias, mantendo todas as outras variáveis constantes.

• cylinders (cilindro adicional): Para cada cilindro adicional, o preço do veículo aumenta em média 1682.0 unidades monetárias, mantendo todas as outras variáveis constantes.

• airbags Para cada airbags, o preço do veículo diminui em média -423.1 unidades monetárias, mantendo todas as outras variáveis constantes.

• abs_break (Sistema de freio) Para presença de ABS, o aumento esperado na variável resposta é 1905 unidades monetárias, mantendo todas as outras variáveis constantes.

• nav_system (Sistema de navegação) Para presença de Sistema de navegação, o aumento esperado na variável resposta é 1389 unidades monetárias, mantendo todas as outras variáveis constantes.

Interpretação do teste F

F-statistic: 248.9
p-valor: < 2.2e-16
Adjusted R-squared: 0.03107

• F-statistic: O valor de 248.9 indica que a variabilidade explicada pelo modelo é significativamente maior do que a variabilidade não explicada. Em outras palavras, o modelo como um todo é significativo.

• p-valor: O p-valor é extremamente pequeno (< 2.2e-16), o que significa que a probabilidade de observar um valor de F tão extremo, ou mais extremo, sob a hipótese nula é praticamente zero.

• Adjusted R-squared: Apenas cerca de 3.1% da variabilidade dos dados observados é explicada pelo modelo ajustado.

• Conclusão: Apesar do modelo ser estatisticamente significativo como um todo, com um p-valor extremamente pequeno (< 2.2e-16), sua capacidade explicativa é muito limitada, conforme evidenciado pelo \(R^2\) ajustado de apenas 3.1%. Isso indica que o modelo consegue explicar apenas uma pequena fração da variabilidade nos preços dos carros.

  Portanto, prosseguiremos com a análise detalhada dos resíduos, buscando identificar possíveis outliers ou padrões que possam estar influenciando negativamente o desempenho do modelo e comprometendo sua capacidade preditiva.

Voltando a equação…

\[ \text{price} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{car_run_km} + \beta_2 \cdot \text{prod_year} + \beta_3 \cdot \text{engine_volume} + \beta_4 \cdot \text{cylinders} + \beta_5 \cdot \text{airbags} + \beta_6 \cdot \text{abs_break} + \beta_7 \cdot \text{nav_system} \] Substituindo os valores dos coeficientes estimados, temos:

\[ \begin{align*} \text{price} = &\ -1,275,000 - 0.02198 \cdot \text{car_run_km} + 634.4 \cdot \text{prod_year} + 2.478 \cdot \text{engine_volume} \\ &+ 1,682 \cdot \text{cylinders} - 423.1 \cdot \text{airbags} + 1,905 \cdot \text{abs_break} + 1,389 \cdot \text{nav_system} \end{align*} \]

Verificando correlações

VIF

Com base nas correlações e os baixos valores de VIF (entre 1 e 2), isso evidencia que a multicolinearidade não é um problema relevante neste modelo, pois, embora algumas variáveis apresentem covariância moderadas entre si, elas não estão inflacionando a variância dos coeficientes.

Análise de resíduos

#>    11    55    77   162   180   378   379   380   407   795  1456  1457  2197 
#>    11    55    77   162   180   378   379   380   407   795  1456  1457  2197 
#>  2219  2373  2383  3099  5535  8868 14042 14052 14241 15242 15247 15327 15336 
#>  2219  2373  2383  3099  5535  8868 14042 14052 14241 15242 15247 15327 15336 
#> 15337 16088 16264 16487 16490 17983 20884 23403 23404 24830 25049 25058 27021 
#> 15337 16088 16264 16487 16490 17983 20884 23403 23404 24830 25049 25058 27021 
#> 27495 27543 28364 28381 31189 31565 32687 33664 34315 34755 36383 36384 36386 
#> 27495 27543 28364 28381 31189 31565 32687 33664 34315 34755 36383 36384 36386 
#> 36390 36391 36445 36999 37451 38094 38973 39254 39255 42011 42024 42526 43304 
#> 36390 36391 36445 36999 37451 38094 38973 39254 39255 42011 42024 42526 43304 
#> 45123 46478 46893 46973 46975 47169 47312 47342 48361 49130 50495 51421 52781 
#> 45123 46478 46893 46973 46975 47169 47312 47342 48361 49130 50495 51421 52781 
#> 52782 53177 53708 53911 
#> 52782 53177 53708 53911
#> [1] 82

#> 
#>  studentized Breusch-Pagan test
#> 
#> data:  model_filter
#> BP = 15.504, df = 7, p-value = 0.03006

#> 
#>  Durbin-Watson test
#> 
#> data:  model_filter
#> DW = 1.9792, p-value = 0.007806
#> alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

#> 45123 
#> 45123
#> [1] 1

#> [1] 3226

Transformação em log escala

dois modelos lineares foram ajustados com o objetivo de linearizar relações não lineares presentes nos dados e reduzir os efeitos de heterocedasticidade, buscando uma maior precisão nas estimativas.

O primeiro modelo foi ajustado utilizando a transformação logarítmica na variável dependente \(log(price)\), enquanto as variáveis independentes permaneceram em sua escala original:

#> 
#> Call:
#> lm(formula = log(price) ~ car_run_km + prod_year + cylinders + 
#>     airbags + abs_break + nav_system, data = data_filter)
#> 
#> Residuals:
#>     Min      1Q  Median      3Q     Max 
#> -2.7563 -0.3448 -0.0139  0.3284  6.9267 
#> 
#> Coefficients:
#>                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)    -9.485e+01  1.024e+00  -92.64   <2e-16 ***
#> car_run_km     -1.055e-06  2.972e-08  -35.49   <2e-16 ***
#> prod_year       5.114e-02  5.086e-04  100.56   <2e-16 ***
#> cylinders       1.745e-01  1.931e-03   90.35   <2e-16 ***
#> airbags        -1.793e-02  8.777e-04  -20.43   <2e-16 ***
#> abs_breakTRUE   1.753e-01  8.377e-03   20.93   <2e-16 ***
#> nav_systemTRUE  3.068e-01  7.831e-03   39.17   <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 0.611 on 54105 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.4169, Adjusted R-squared:  0.4169 
#> F-statistic:  6448 on 6 and 54105 DF,  p-value: < 2.2e-16

O segundo modelo também utilizou a transformação logarítmica na variável dependente \(log(price)\). Contudo, adicionalmente, a transformação logarítmica foi aplicada na variável independente “quilometragem rodada pelo carro”:

#> 
#> Call:
#> lm(formula = log(price) ~ log(car_run_km) + prod_year + cylinders + 
#>     airbags + abs_break + nav_system, data = data_filter)
#> 
#> Residuals:
#>     Min      1Q  Median      3Q     Max 
#> -2.9795 -0.3372 -0.0052  0.3284  6.9039 
#> 
#> Coefficients:
#>                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)     -8.863e+01  1.005e+00  -88.16   <2e-16 ***
#> log(car_run_km) -1.679e-01  3.163e-03  -53.09   <2e-16 ***
#> prod_year        4.894e-02  4.936e-04   99.14   <2e-16 ***
#> cylinders        1.744e-01  1.904e-03   91.62   <2e-16 ***
#> airbags         -1.611e-02  8.665e-04  -18.59   <2e-16 ***
#> abs_breakTRUE    1.840e-01  8.265e-03   22.27   <2e-16 ***
#> nav_systemTRUE   3.145e-01  7.714e-03   40.77   <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 0.6026 on 54105 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.4329, Adjusted R-squared:  0.4328 
#> F-statistic:  6883 on 6 and 54105 DF,  p-value: < 2.2e-16

• Manutenção de Outliers: Nenhum tratamento foi realizado para remover ou ajustar outliers presentes no conjunto de dados. Todas as observações originais foram mantidas no ajuste dos modelos.

Análise de resíduos

#> 
#>  studentized Breusch-Pagan test
#> 
#> data:  model_log2
#> BP = 3699.5, df = 6, p-value < 2.2e-16

Conclusão

• A transformação log não foi suficiente: Apesar de o logaritmo reduzir a escala e estabilizar a variância em muitos casos, ele pode não corrigir completamente a heterocedasticidade ou a não linearidade.

• Pode ser que a relação entre as variáveis explicativas (log(car_run_km), prod_year, etc.) e a variável resposta ainda não seja bem representada por um modelo linear.

• Outliers podem estar influenciando a análise e distorcendo os resultados do modelo.